Question

設有兩個二次方程，他們分別是x²+2ax+1=0和ax²+ax+1=0．已知這兩個方程中至少有一個有實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：法一：由這兩個方程中至少有一個有實數解，可得這兩個方程有解，一元二次方程有解可得出判別式△≥0，由此不等式的求出a的兩個取值范圍，然后求并集；
法二：至少有一個有實數解的反面就是兩個都無解，一元二次方程無解可得出判別式△＜0，由此不等式的求出a的取值范圍，兩范圍取交集，這個集合的補集就是要求的a的取值范圍．

解答：解：（法一）方程x²+2ax+1=0有實數解⇒△₁=4a²-4≥0（4分）
⇒a≤-1或a≥1（5分）
方程ax²+ax+1=0有實數解⇒

a≠0 △2=a2-4a≥0

（9分）
⇒a＜0或a≥4（10分）
所以，所求實數a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞）（14分）
（法二）方程x²+2ax+1=0和ax²+ax+1=0均無實數解⇒

△1=4a2-4＜0 △2=a2-4a＜0

（8分）
⇒0＜a＜1（10分）
則兩個方程中至少有一個有實數解⇒a≤0或a≥1（12分）
又a≠0，所以，所求實數a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞）（14分）

點評：本題主要考查一元二次方程的分布與系數的關系，注意“至少有一個”，故可以從反面考慮．