Question

（08年長沙市模擬文）（13分） 已知函數f(x)=ax³+bx²-3x在處取得極值。

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）求證：對于區間[-1,1]上任意兩個自變量的值x₁,x₂，都有；

（3）若過點A(1,m)(m?-2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍。

Answer 1

解析：（1），依題意，，

即，解得  3分

（2）

當-1<x<1時，，故f(x)在區間[-1,1]上為減函數，

∵對于區間[-1,1]上任意兩個自變量的值x₁,x₂，

都有

  7分

（3），

 ∵曲線方程為y=x3-3x，∴點A(1,m)不在曲線上，

設切點為M(x₀,y₀)，則點M的坐標滿足。

因，故切線的斜率為，

整理得。

∵過點A(1,m)可作曲線的三條切線，

∴關于x₀方程有三個實根。  9分

設，則，

由，得x₀=0或x₀=1。

在上單調遞增，在（0,1）上單調遞減。

∴函數的極值點為x₀=0，x₀=1

∴關于x₀方程有三個實根的充要條件是

，解得-3<m<-2。

故所求的實數a的取值范圍是-3<m<-2。……13分