Question

給出下列命題：①存在實數α，使sinαcosα=1；
②存在實數α，使sinα+cosα=

3

2

；
③y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數；
④x=

π

8

是函數y=sin(2x+

5π

4

)的一條對稱軸方程．
其中正確命題的序號是

 

Answer 1

分析：根據二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，結合正弦函數的值域可判斷①；
根據兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

）結合正弦函數的可判斷②；
根據誘導公式得到y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，再由余弦函數的奇偶性可判斷③；
將x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5π

4

）得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，根據正弦函數的對稱性可判斷④．

解答：解：∵sinαcosα=

1

2

sin2α=1∴sin2α=2，與正弦函數的值域矛盾，故①不對；
∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，從而可判斷②不對；
∵y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，為偶函數，故③正確；
將x=

π

8

代入到y=sin（2x+

5π

4

）得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，
故x=

π

8

是函數y=sin(2x+

5π

4

)的一條對稱軸方程，故④正確．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的公式、誘導公式和三角函數的對稱性．考查三角函數公式的綜合應用．三角函數的公式比較多，很容易記混，平時要注意積累．