Question

（2007•武漢模擬）在一個單位中普查某種疾病，600個人去驗血，對這些人的血的化驗可以用兩種方法進行：
方法一：每個人的血分別化驗，這時需要化驗600次；
方法二：把每個人的血樣分成兩份，取k（k≥2）個人的血樣各一份混在一起進行化驗，如果結果是陰性的，那么對這k個人只作一次檢驗就夠了；如果結果陽性的，那么再對這k個人的另一份血樣逐個化驗，這時對這k個人共需作k+1次化驗．
假定對所有的人來說，化驗結果是陽性的概率是0.1，而且這些人的反應是獨立的．將每個人的血樣所需的檢驗次數作為隨機變量ξ．
（1）寫出方法二中隨機變量ξ的分布列，并求數學期望Eξ（用k表示）；
（2）現有方法一和方法二中k分別取3、4、5共四種方案，請判斷哪種方案最好，并說明理由．（參考數據：取0.9³=0.729，0.9⁴=0.656，0.9⁵=0.591）

Answer 1

分析：（1）對于方法二，當k個人一組的混合血液呈陰性時，可以認為每個人需要化驗的次數為

1

k

次；當k個人一組的混合血液呈陽性時，可以認為每個人需要化驗的次驗為

1

k

+1次，然后分別求出相應的概率，利用數學期望公式解之即可；
（2）對方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1，然后計算出方法二中k分別取3、4、5時的數學期望，比較四種方案即可判定哪種方案最好．

解答：解：（1）對于方法二，k個人一組的混合血液呈陰性結果的概率為0.9^k，呈陽性結果的概率為1-0.9^k．
當k個人一組的混合血液呈陰性時，可以認為每個人需要化驗的次數為

1

k

次；當k個人一組的混合血液呈陽性時，可以認為每個人需要化驗的次驗為

1

k

+1次．
所以（3分）

ξ	1 k	1+ 1 k
P	0.9k	1-0.9k

∴Eξ=

1

k

×0.9k+(1+

1

k

)(1-0.9k)=1+

1

k

-0.9k．（5分）
（2）對方法一：P（ξ=1）=1    Eξ=1．（6分）
當k=3時，Eξ=1+

1

3

-0.93≈0.604；
當k=4時，Eξ=1+

1

4

-0.94≈0.597；
當k=5時，Eξ=1+

1

5

-0.95≈0.609．（9分）
比較知k=4時的方案最好（10分）

點評：本題主要考查了數列的應用，同時考查了離散型變量的數學期望以及計算能力，屬于中檔題．