Question

【題目】已知直線y=﹣x+1與橢圓 + =1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為 ，焦距為2，求線段AB的長；
（2）若向量 與向量 互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率e∈[ ， ]時，求橢圓的長軸長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，2c=2，

∴a= ，b= ，

∴橢圓的方程為 ．

聯立 ，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ，

∴|AB|=

=

= ．

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），

∵ ，∴ ，

即x1x2+y1y2=0，

由 ，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，

由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1

∵ ， ，

∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，

∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，

∴ ，

整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．

∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得

2a2=1+ ，∴ ，

∵ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ 適合條件a2+b2＞1．

由此得 ，∴ ，

故長軸長的最大值為 ．

【解析】（1）由橢圓的離心率為 ，焦距為2，求出橢圓的方程為 ．聯立 ，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，再由弦長公式能求求出|AB|．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，知x1x2+y1y2=0，由 ，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，再由根的判斷式得到a2+b2＞1，利用韋達定理，得到a2+b2﹣2a2b2=0．由此能夠推導出長軸長的最大值．