Question

已知函數f(x)=

2x

2x+ 2

．
（Ⅰ）計算f（0）+f（1）的值
（Ⅱ）試利用求等差數列前n項和的方法求f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

) +f(2)的值；
（Ⅲ）設a∈R，解關于x的不等式：f(x2-(a+1)x+a+

1

2

)＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）代入化簡即可得出；
（II）利用f（1-x）+f（x）=

21-x

21-x+ 2

+

2x

2x+ 2

=

2

2+ 2 •2x

+

2x

2x+ 2

=

2

2 +2x

+

2x

2x+ 2

=1，即可得出；
（Ⅲ）利用f(x)=

2x

2x+ 2

=1-

2

2x+ 2

，可得f（x）在實數集上是單調遞增函數，即可分離出來，通過分類討論即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f（0）+f（1）=

1

1+ 2

+

2

2+ 2

=

1

1+ 2

+

2

2 +1

=1，
（Ⅱ）∵f（1-x）+f（x）=

21-x

21-x+ 2

+

2x

2x+ 2

=

2

2+ 2 •2x

+

2x

2x+ 2

=

2

2 +2x

+

2x

2x+ 2

=1，
∴f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

) +f(2)=3.5．
（Ⅲ）f(x)=

2x

2x+ 2

=1-

2

2x+ 2

，
故f（x）在實數集上是單調遞增函數，
由（Ⅰ），令x=0，得f(

1

2

)=

1

2

…，
原不等式即為f(x2-(a+1)x+a+

1

2

)＜f(

1

2

)，
∴x2-(a+1)x+a+

1

2

＜

1

2

，即（x-a）（x-1）＜0
故當a＜1時，不等式的解集為{x|a＜x＜1}；
當a=1時，不等式的解集為?；
當a＞1時，不等式的解集為{x|1＜x＜a}．

點評：熟練掌握函數的單調性、分類討論的思想方法、指數函數的運算等是解題的關鍵．