Question

探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)的最大值，并確定取得最大值時x的值．列表如下：

x	…	-0.5	-1	-1.5	-1.7	-1.9	-2	-2.1	-2.2	-2.3	-3	…
y	…	-8.5	-5	-4.17	-4.05	-4.005	-4	-4.005	-4.02	-4.04	-4.3	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)在區間

 

上為單調遞增函數．當x=

 

時，f（x）_最大=

 

．
（2）證明：函數f(x)=x+

4

x

在區間（-2，0）為單調遞減函數．
（3）思考：函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）．

Answer 1

分析：（1）由于函數f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)為對勾函數的左支，根據已知中的表格中的數據，我們易判斷出函數的單調區間及最大值；
（2）取區間（-2，0）上的任意兩個數x₁，x₂，且x₁＜x₂．根據函數f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)，我們判斷出f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據函數單調性的定義，即可得到結論．
（3）由函數的解析式可得，函數f(x)=x+

4

x

為奇函數，由（1），（2）的結論，我們易得函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)有最小值，也易得到x為何值時函數取最值．

解答：解：（1）（-∞，-2）；（2分）
當x=-2時f（x）_最大=-4．（4分）
（2）證明：設x₁，x₂是區間，（-2，0）上的任意兩個數，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

（8分）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（-2，0）
∴0＜x₁x₂＜4
∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函數在（-2，0）上為減函數．（12分）
（3）思考：f(x)=x+

4

x

(x＞0)，當x=2時，f（x）_最小=4（16分）

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，函數的單調性的判斷與證明，其中熟練掌握對勾函數f(x)=x+

t

x

，(t＞0)的性質是解答本題的關鍵．