Question

已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直線l：y=kx+b上的n個不同的點（n∈N^*，k、b均為非零常數），其中數列{x_n}為等差數列．
（1）求證：數列{y_n}是等差數列；
（2）若點P是直線l上一點，且

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

，求證：a₁+a₂=1；
（3）設a₁+a₂+…+a_n=1，且當i+j=n+1時，恒有a_i=a_j（i和j都是不大于n的正整數，且i≠j）．試探索：在直線l上是否存在這樣的點P，使得

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

+…+an

OAn

成立？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）將y_n+1和y_n分別代入y=kx+b，令兩者相減得定值，便可證明數列{y_n}為等差數列；
（2）由題中條件可知PA1A2共線，令

A1P

=λ 

PA2

，即可證明a₁+a₂=1；
（3）先寫出滿足條件的x的函數，再根據a₁+a₂+…+a_n=1和a_i=a_j及數列{x_n}為等差數列等條件逐步化簡，便可求出滿足條件的P店坐標．

解答：解：（1）證：設等差數列{x_n}的公差為d，
∵y_n+1-y_n=（kx_n+1+b）-（kx_n+b）=k（x_n+1-x_n）=kd，
∴y_n+1-y_n為定值，即數列{y_n}是等差數列；
（2）證：因為P、A₁和A₂都是直線l上一點，故有

A1P

=λ 

PA2

（λ≠-1），
于是，

OP

=

OA1

+

A1P

=

OA1

+λ

PA2

=

OA1

+λ（

OA2

-

OP

），
∴（1+λ）

OP

=

OA1

+λ

OA2

∴

OP

=

1

1+λ

OA1

+

λ

1+λ

OA2

，
令a₁=

1

1+λ

，a₂=

λ

1+λ

，則有a₁+a₂=1；
（3）假設存在點P（x，y），滿足要求

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

+…+an

OAn

，
則有x=a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n，
又當i+j=n+1時，恒有a_i=a_j，
則又有x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，
∴2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+a₃（x₃+x_n-2）+…+a_n（x_n+x₁），
又∵數列{x_n}為等差數列；
于是x₁+x_n=x₂+x_n-1=x₃+x_n-2=…=x_n+x₁
∴2x=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）（x₁+x_n）=x₁+x_n
故x=

x1 +xn

2

，同理y=

y1+ yn

2

，
且點P（

x1 +xn

2

，

y1+ yn

2

）在直線上（是A₁、A_n的中點），
即存在點P（

x1 +xn

2

，

y1+ yn

2

）滿足要求．

點評：本題主要考查了等差數列與向量的綜合運用，是各地高考的熱點，綜合性較強，考查了學生對知識的綜合運用和全面掌握，平常應多加訓練．