Question

某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（Ⅰ）若建立函數模型制定獎勵方案，試用數學語言表述公司對獎勵函數模型的基本要求；
（Ⅱ）現有兩個獎勵函數模型：（1）y=

x

150

+2；（2）y=4lgx-3．試分析這兩個函數模型是否符合公司要求？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設獎勵函數模型為y=f（x），根據“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%．即f(x)≤

x

5

．
（Ⅱ）根據（I）去判斷，（1）對于函數模型f(x)=

x

150

+2，由一次函數的性質研究，是否滿足第一，二兩個條件，構造函數

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

，由反比例函數性質研究是否滿足第三個條件．
（2）對于函數模型f（x）=4lgx-3，由對數函數的性質研究
是否滿足第一，二兩個條件，再用作差法研究是否滿足第三個條件即：4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．

解答：解：（Ⅰ）設獎勵函數模型為y=f（x），則公司對函數模型的基本要求是：
當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數；②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立．（3分）
（Ⅱ）（1）對于函數模型f(x)=

x

150

+2：
當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，則f(x)max=f(1000)=

1000

150

+2=

20

3

+2＜9．
所以f（x）≤9恒成立．（5分）
因為函數

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

在[10，1000]上是減函數，所以[

f(x)

x

]max=

1

150

+

1

5

＞

1

5

．
從而

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

≤

1

5

，即f(x)≤

x

5

不恒成立．
故該函數模型不符合公司要求．（8分）

（2）對于函數模型f（x）=4lgx-3：
當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，則f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．（10分）
設g（x）=4lgx-3-

x

5

，則g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
當x≥10時，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

2lge-1

5

=

lge2-1

5

＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是減函數，從而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．
故該函數模型符合公司要求．（13分）

點評：本題主要考查函數模型的選擇，其實質是考查函數的基本性質，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．