Question

（本小題14分）

某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．

（1）若建立函數模型制定獎勵方案，試用數學語言表述公司對獎勵函數模型的基本要求；

（2）現有兩個獎勵函數模型：（1）y＝；（2）y＝4lgx－3．試分析這兩個函數模型是否符合公司要求？

 

Answer 1

【答案】

 

（1）當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數；②f（x）≤9恒成立；③恒成立

（2）所以g（x）在[10，1000]上是減函數，從而g（x）≤g（10）＝－1＜0．

所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立

【解析】解：（1）設獎勵函數模型為y＝f（x），則公司對函數模型的基本要求是：

當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數；②f（x）≤9恒成立；③恒成立…5分

（2）①對于函數模型：

當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，     …………………… 6分

則．所以f（x）≤9恒成立．… 8分                      因為函數在[10，1000]上是減函數，所以．

從而，即不恒成立．

故該函數模型不符合公司要求．       ………………………… 10分

②對于函數模型f（x）＝4lgx－3：

當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，            …………… 11分

則．所以f（x）≤9恒成立．……… 13分                       

設g（x）＝4lgx－3－，則．

當x≥10時，，

所以g（x）在[10，1000]上是減函數，從而g（x）≤g（10）＝－1＜0．

所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立．

故該函數模型符合公司要求．………………………… 15分