Question

【題目】已知數列{an}滿足．

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）對任意正整數n，an小數點后第一位數字是多少？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）a1，a2小數點后第一位數字均為5，當n≥3，n∈N*時，an小數點后第一位數字均為6．見解析

【解析】

（1）因為數列{an}滿足，令n=1，n=2，n=3，分別求解.

（2）根據a1，a2小數點后第一位數字均為5，a3小數點后第一位數字為6，猜想對任意正整數n（n≥3），均有0.6＜an＜0.7，根據，所以對任意正整數n（n≥3），有an≥a3＞0.6，只要證明：對任意正整數n（n≥3），有即可.采用數學歸納法證明.

（1）a1，a2；a3，

可得，，；

（2）a1，a2小數點后第一位數字均為5，a3小數點后第一位數字為6，

下證：對任意正整數n（n≥3），均有0.6＜an＜0.7，

注意到，

故對任意正整數n（n≥3），有an≥a3＞0.6，

下用數學歸納法證明：對任意正整數n（n≥3），有

①當n＝3時，有，命題成立；

②假設當n＝k（k∈N*，k≥3）時，命題成立，即

則當n＝k+1時，

∵

∴∴

∴n＝k+1時，命題也成立；

綜合①②，任意正整數n（n≥3），．

由此，對正整數n（n≥3），0.6＜an＜0.7，此時an小數點后第一位數字均為6．

所以a1，a2小數點后第一位數字均為5，當n≥3，n∈N*時，an小數點后第一位數字均為6．