Question

在數列{a_n}中，a₁=1，an+1=2an+2n，
（Ⅰ）設bn=

an

2n-1

，證明：數列{b_n}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{

n2

an

}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）要證明數列{b_n}是等差數列，只要證明b_n+1-b_n=d（常數），結合已知遞推公式可證
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=

an

2n-1

，從而可求

n2

an

，利用錯位相減可求數列的和

解答：（Ⅰ）證明：由an+1=2an+2n得bn+1=

an+1

2n

=

2an+2n

2n

=

an

2n-1

+1=bn+1
又b₁=a₁=1，因此數列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=

an

2n-1

，
∴an=n•2n-1，
∴

n2

an

=

n

2n-1

則Sn=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，…(1)

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…

n-1

2n-1

+

n

2n

，…(2)
（1）-（2）得

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

．
=

1•[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n

=2-(2+n)

1

2n

．
∴Sn=4-(2+n)

1

2n-1

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列，及等差數列的定義在證明中的應用，數列的錯位相減求和方法的應用