Question

已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且△的面積=，其中為坐標原點.

（1）證明和均為定值；

（2）設線段的中點為，求的最大值；

（3）橢圓上是否存在點，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）不存在點滿足要求.

【解析】

試題分析：（1）先檢驗直線斜率不存在的情況，后假設直線的方程，利用弦長公式求出的長，利用點到直線的距離公式求點到直線的距離，根據三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點的坐標，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設存在，使得，由（1）得，，從而求得點的坐標，可以求出直線的方程，從而得到結論.

試題解析：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于軸對稱，所以

因為在橢圓上，因此①

又因為所以②

由①、②得，此時 2分

當直線的斜率存在時，設直線的方程為

由題意知，將其代入，得

其中即 （*）

又

所以

因為點到直線的距離為

所以

又，整理得，且符合（*）式

此時

綜上所述，結論成立 5分

（2）解法一：

（1）當直線的斜率不存在時，由（I）知

因此 6分

（2）當直線的斜率存在時，由（I）知

所以

所以，當且僅當，即時，等號成立

綜合（1）（2）得的最大值為 9分

解法二：因為

所以

即當且僅當時等號成立

因此的最大值為 9分

（3）橢圓C上不存在三點，使得 10分

證明：假設存在滿足

由（I）得

解得

所以只能從中選取，只能從中選取

因此只能在這四點中選取三個不同點

而這三點的兩兩連線中必有一條過原點

與矛盾

所以橢圓上不存在滿足條件的三點 14分.

考點：1.點到直線的距離公式；2.三角形的面積計算公式；3.直線與橢圓的綜合問題.