Question

【題目】如圖所示，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，點G、H分別為邊CD、DA的中點，點M是線段BE上的動點．

（I）求證：GH⊥DM；

（II）當三棱錐D-MGH的體積最大時，求點A到面MGH的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（II）

【解析】

（Ⅰ）先證明GH⊥平面BDE．再證明GH⊥DM；（II）先證明BM⊥平面ABCD，再計算得到．所以當點M與點E重合時，BM取得最大值2，此時（VD-MGH）max．

再求A到平面MGH的距離為.

（Ⅰ）證明：連接AC、BD相交于點O．

∵BE⊥平面ABCD．而AC平面ABCD，∴BE⊥AC．

又∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC．

∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE．

∵G、H分別為DC、AD的中點，∴GH∥AC，則GH⊥平面BDE．

而DM平面BDE，∴GH⊥DM；

（II）菱形ABCD中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．

∵DG=DH=1，

∴S△DGH==，

∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，

∴=．

顯然，當點M與點E重合時，BM取得最大值2，此時（VD-MGH）max=．

且MG=MH=，GH=，則，

∵H是AD中點，所以A到平面MGH的距離d1等于到平面MGH的距離d2，

又VD-MGH=VM-DGH，∴，得d2=．

∴A到平面MGH的距離為．