Question

已知函數y=lg（ax²-2x+2）．
（1）若函數y=lg（ax²-2x+2）的值域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若a=1且x≤1，求y=lg（ax²-2x+2）的反函數f^-1（x）；
（3）若方程lg（ax²-2x+2）=1在[

1

2

，2]內有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數y=lg（ax²-2x+2）的值域為R，知a=0或

a＞0 4-8a≤0

，由此能求出實數a的取值范圍．
（2）由a=1且x≤1，知y=lg（x²-2x+2）≥0，所以x²-2x+2-10^y=0，由求根公式得x=

2- 4•10y-4

2

=1-

10y-1

，y≥0，由此能求出反函數f^-1（x）．
（3）由lg（ax²-2x+2）=1，知 ax²-2x+2=10在[

1

2

，2]內有解．再進行分類討論能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數y=lg（ax²-2x+2）的值域為R，
∴ax²-2x+2＞0的解為R⁺，
∴a=0或

a＞0 4-8a≤0

解得：0≤a≤

1

2

…（4分）
（2）∵a=1且x≤1，
∴y=lg（x²-2x+2）≥0，
∴x²-2x+2=10^y，
即x²-2x+2-10^y=0，
∵x≤1，
∴x=

2- 4•10y-4

2

=1-

10y-1

，y≥0，
∴f-1(x)=1-

10x-1

(x≥0)…（8分）
（3）由lg（ax²-2x+2）=1，
可知 ax²-2x+2=10
即ax²-2x-8=0 在[

1

2

，2]內有解．
①當a=0時，原方程變為-2x-8=0，x=-4，不合題意舍去，
②當a=-

1

8

時，方程有相同的兩個解 x₁=x₂=-8，不合題意舍去．
③當a≠0且a≠-

1

8

時方程有兩個不同解．
只有1個解在[

1

2

，2]上，則把

1

2

和2代入方程得（0.25a-9）（4a-12）＜0  解得3≤a≤36
有兩個解在[

1

2

，2]上，把

1

2

和2代入方程得（0.25a-9）（4a-12）＞0且對稱軸x=

1

a

滿足

1

2

＜

1

a

＜2，
解得

1

2

＜a＜2．
綜上所述，a的取值范圍為（

1

2

，2）∪[3，36]．…（12分）

點評：本題考查對數函數的綜合運用和求對數函數的反函數，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．