Question

已知函數y=lg（-x²+x+2）的定義域為A，指數函數y=a^x（a＞0且a≠1）（x∈A）的值域為B．
（1）若a=2，求A∪B；
（2）若A∩B=（

1

2

，2），求a的值．

Answer 1

分析：（1）先根據真數大于零求出集合A以及指數函數的值域集合B，再根據兩個集合的交集的意義求解；
（2）先根據真數大于零求出集合A，討論a＞1與0＜a＜1兩種情形，由A∩B=（

1

2

，2）建立關系式，解之即可．

解答：解：（1）依題意知A={x|-x²+x-2＞0}=（-1，2）．（2分）
若a=2，則y=a^x=2^x∈（

1

2

，4），即B=（

1

2

，4），（4分）
∴A∪B=（-1，4）．（　　）（6分）
（2）由A={x|-x²+x-2＞0}=（-1，2），知
①當a＞1時，B=（

1

a

，a²），若A∩B=（

1

2

，2），則必有

1 a = 1 2 a2≥2

，a=2（10分）
（或

1

a

=

1

2

，a=2此時B=（

1

2

，2），A∩B=（

1

2

，2），符合題意，故a=2為所求）．
②當0＜a＜1時，B=（a²，

1

a

），若A∩B=（

1

2

，2），則必有a2=

1

2

，a=

2

2

，此時B=（

1

2

，

2

），A∩B=（

1

2

，

2

），不符合題意，舍去；（13分）
綜上可知a=2．（14分）

點評：本題主要考查了指數函數與對數函數的定義域和值域，以及交集與并集的運算，屬于基礎題．