Question

【題目】平面直角坐標系中，拋物線的焦點為F，過F的直線交于B，C兩點.

（1）若垂直于軸，且線段BC的長為1，求的方程；

（2）若的斜率為，求；

（3）設拋物線上異于的點A滿足，若的重心在軸上，求的重心的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）直線方程為，與拋物線方程聯立，可得交點坐標，從而得，由此可求得，得拋物線方程；

（2）設，不妨設在第一象限，在第四象限，即，直線方程為，．求出，，再由直線方程與拋物線方程聯立，消去后可得，代入中，可得結論；

（3）分類，與軸垂直，重心為；與軸不垂直，與（2）一樣，設方程為，，仿（2）得，重心在軸．則有

，從而可得，于是也有，設中點為，由中點坐標公式求得，利用可求得，最終可得出直線方程，它與交點為所求重心．

（1）由，∴，

∴拋物線的方程為：；

（2）設，不妨設在第一象限，在第四象限，即，直線方程為，．

∵，，

∴，

由得，∴，．

∴；

（3）若垂直于軸，則由得，此時重心坐標為．

若直線與軸不垂直，設方程為，，

則，由（2），∴，，

設線段中點為，

則，，

∴直線斜率為（與垂直），∴，，

此時，從而直線方程為，它與軸交點為，此即為所求重心坐標．

綜上，的重心為或．