Question

19、定義在R上的單調函數f（x）滿足對任意x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1．
（1）求f（0）的值，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關于x的不等式：f（x-x²+2）+f（2x）+2＜0．

Answer 1

分析：（1）先對x、y進行賦值，令x=y=0，求出f（0）的值，然后令y=-x得到f（-x）與f（x）的關系即可判定奇偶性；
（2）先求出f（0）的值，根據函數f（x）是定義在R上的單調函數，判定出函數f（x）的單調性，然后利用奇偶性進行化簡，得到自變量的大小關系，解之即可．

解答：解：（1）令x=y=0，則題意可得f（0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0（3分）
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）∵f（0）=0，故對任意x∈R有f（-x）=-f（x）成立．
∴函數f（x）為奇函數．（6分）
（2）由函數f（x）是定義在R上的單調函數且f（0）=0，f（1）=1，
可知函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
∴原不等式等價于f（3x-x²+2）＜-2．（8分）
∵f（1）=1，f（2）=f（1）+f（1）=2．
又∵函數為奇函數∴f（-2）=-2．
∴f（3x-x²+2）＜f（-2）．（10分）
∴3x-x²+2＜-2．?
即x²-3x-4＞0
∴原不等式的解集為{x|x＞4或x＜-1}（12分）

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數單調性的應用和函數奇偶性的判斷，屬于基礎題．