Question

定義在R上的單調函數f（x）滿足f(2)=

3

2

，且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求證：f（x）為奇函數；
（Ⅱ）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數奇偶性的定義，結合抽象函數，證明f（x）為奇函數；
（Ⅱ）利用函數的單調性和奇偶性解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），∴函數f（x）是奇函數．
（Ⅱ）∵f(2)=

3

2

，f（0）=0，∴f（2）＞f（0），
又函數f（x）在R上的是單調函數，
∴函數在R上單調遞增．
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
即k•3^x＜-3^x+9^x+2恒成立，
∴k＜

9x-3x+2

3x

，
∵

9x-3x+2

3x

=3x+

2

3x

-1≥2

3x? 2 3x

-1=2

2

-1，
當且僅當3x=

2

3x

，即3x=

2

，x=log3

2

時取等號．
∴k＜2

2

-1，
即實數k的取值范圍是k＜2

2

-1．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用抽象函數研究函數的奇偶性，以及基本不等式的應用．綜合性應用．