Question

（本題滿分14分）如圖，是等腰直角三角形，，，分別為的中點，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐．

（Ⅰ）在棱上找一點，使∥平面；

（Ⅱ）當四棱錐的體積取最大值時，求平面與平面夾角的余弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）點為棱的中點；（Ⅱ）平面與平面夾角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先作出輔助線即取的中點，連接，由中位線性質知，∥，

，且∥，．進而證明四邊形是平行四邊形，即∥．于是即可得出結論；（Ⅱ）首先運用線面關系證明底面，即就是四棱錐的高，然后分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，最后由二面角的平面角與法向量夾角之間的關系即可求出所求結果.

試題解析：（Ⅰ）點為棱的中點．證明如下：取的中點，連接，則由中位線定

理，∥，，且∥，．所以∥，，從而四邊形是平行四邊形，∥．又面內，平面，故點為棱的中點時，∥平面．

（Ⅱ）在平面內作于點，平面，

又，故⊥底面，即就是四棱錐的高．

由知，點和重合時，四棱錐的體積取最大值．

分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，．

設平面的法向量為，

由

得，即，

可取．

同理可以求得平面的一個法向量．

故，

故平面與平面夾角的余弦值為．

考點：線面平行的判定；線面垂直的判定；空間向量在立體幾何中的應用.