Question

（2012•肇慶一模）設函數f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），F(x)=

f(x)，(x＞0) -f(x)，(x＜0)

（Ⅰ）若f（1）=0且對任意實數均有f（x）≥0恒成立，求F（x）表達式；
（Ⅱ）在（1）在條件下，當x∈[-3，3]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）設mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數，證明F（m）＞-F（n）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（1）=0，可得b=a+1，由f（x）≥0恒成立，即ax²-bx+1≥0恒成立，結合二次函數的性質可得△≤0，可求a，b，進而可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x），g（x），=結合二次函數的單調區間與對稱軸的位置關系可求k的范圍
（Ⅲ）由f（x）是偶函數，可求b，代入F（x），結合f（x）在[0，+∞）上的單調性可判斷F（x）是奇函數，且F（x）在[0，+∞）上為增函數，結合m，n之間的大小關系即可證明

解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=0，∴b=a+1，（1分）
由于f（x）≥0恒成立，即ax²-bx+1≥0恒成立，
當a=0時，b=1，此時，f（x）=-x+1與f（x）≥0恒成立矛盾．
當a≠0時，由△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，得a=1，b=2…（3分）
從而f（x）=x²-2x+1，
∴F(x)=

(x-1)2，(x＞0) -(x-1)2，(x＜0)

（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1，其對稱為x=

k+2

2

由g（x）在x∈[-3，3]上是單調函數知：

k+2

2

≥3或

k+2

2

≤-3，
解得k≥4或k≤-8（8分）
證明：（Ⅲ）∵f（x）是偶函數，
∴由f（-x）=f（x）得b=0，
故f（x）=ax²+1，F(x)=

ax2+1，x＞0 -(ax2+1)，x＜0

∵a＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，（9分）
對于F（x），當x＞0時，-x＜0，F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）
當x＜0時，-x＞0，F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）
∴F（x）是奇函數，且F（x）在[0，+∞）上為增函數．（11分）
∵mn＜0，
∴m，n異號，
（1）當m＞0，n＜0時，由m+n＞0得m＞-n＞0，
∴F（m）＞F（-n）=-F（n）
（2）當m＜0，n＞0時，由m+n＞0得n＞-m＞0，
∴F（n）＞F（-m）=-F（m）
即F（m）＞-F（n）
綜上可知F（m）＞-F（n）（14分）

點評：本題綜合考查了二次函數的恒成立、二次函數的單調性與對稱軸的關系等知識的綜合應用，還考查了一定的邏輯推理與運算的能力