Question

一正三棱錐A—BCD,其底面邊長為a,側棱長為2a,過點B作與側棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中.(1)求周長的最小值；(2)求最小周長時的截面面積.

Answer 1

(1)周長的最小值為
(2) S_△BMN=

如圖甲所示，設截面與AC、AD的交點分別為M、N，將側棱AB剪開后，將側面展開鋪平，當B′、M′、N′、B在一條直線上時，截面周長最短(如圖乙).

(1)在△B′C′M′和△A′M′N′中，∠B′M′C′=∠A′M′N′，由展開圖可知∠A′M′N′=∠A′N′M′，
∴∠A′M′N′=∠A′C′D′=∠A′C′B′.
故有∠B′M′C′=∠M′C′B′，
∴B′M′=B′C′=a，同理N′B=a，
由△A′C′D′—△B′C′M′，
∴C′M′=，∴A′M′=，
∴，即，
∴M′N′=，故B′B=，即周長的最小值為.
(2)由展開的圖可知周長最小時的截面△BMN為等腰三角形，且BM=BN=a，MN=，∴MN上的高
，
∴S_△BMN=