Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足Sn=

n2

n2-1

Sn-1+

n

n+1

，且a1=

1

2

，n∈N*
（I）試求出S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）根據(jù)S₁，S₂，S₃的值猜想出S_n關于n的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）由題設可得求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜測Sn=

n2

n+1

（Ⅱ）利用數(shù)學歸納法加驗證n=1時猜想成立，然后假設n=k時猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立．

解答：解：S₁=a₁=

1

2

，
S₂=

4

3

S₁+

2

3

=

4

3

，
S₃=

9

8

S₂+

3

4

=

9

4

（Ⅱ）由（I）猜想Sn=

n2

n+1

①當n=1時，左邊=S₁=a₁=

1

2

，右邊=

12

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假設n=k時等式成立，即Sk=

k2

k+1

則當n=k+1時，左邊=Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk+

k+1

k+2

=

(k+1)2

(k+1)2-1

•

k2

k+1

+

k+1

k+2

=

(k+1)2

k+2

即當n=k+1時，等式成立．
由①②可知，當時對任意正整數(shù)n都成立．

點評：本題的考點是數(shù)學歸納法，主要考查已知數(shù)列的遞推關系式，求出數(shù)列的前幾項，猜想通項公式，利用數(shù)學歸納法證明猜想成立，注意數(shù)學歸納法證明時，必須用上假設．證明當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．