Question

要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示：

規格類型	A規格	B規格	C規格
鋼板類型
第一種鋼板	2	1	1
第二種鋼板	1	2	3

今需A、B、C三種規格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數最少？

Answer 1

分析：根據條件設第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數z張，建立約束條件和目標函數，利用線性規劃的知識進行求解即可．

解答：解：設需要第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數z張，則

2x+y≥15 x+2y≥18 x+3y≥27 x∈N，y∈N

目標函數 z=x+y
作出可行域如圖所示，作出直線x+y=0．作出一組平行直線x+y=t（其中t為參數）．
其中經過可行域內的點且和原點距離最近的直線，
經過直線 x+3y=27和直線 2x+y=15的交點A(

18

5

，

39

5

)，直線方程為x+y=

57

5

．
由于

18

5

和

39

5

都不是整數，而最優解（x，y）中，x，y必須都是整數，
所以，可行域內點A(

18

5

，

39

5

)不是最優解．
經過可行域內的整點（橫坐標和縱坐標都是整數的點），且與原點距離最近的直線是x+y=12．
經過的整點是B（3，9）和C（4，8），它們是最優解．
故要截得所需三種規格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張．兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用條件建立約束條件和目標函數，利用目標函數的幾何意義求最優解，考查學生解決應用問題的能力．