Question

已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中正視圖、側視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形.是側棱上的動點．

(1)求證：；

(2)若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；

(3) 若四點在同一球面上，求該球的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）參考解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證明，要轉到線面垂直，通過觀察需證明平面.所以要證明垂直于平面兩條相交直線，顯然，.從而可得結論.

（2）要求直線與平面所成角的正弦值，需要找到直線與平面所成的角.通過證明平面平面.即可得到點E到平面的投影在PO（O是AC與BD的交點）上.這樣就可以求出直線與平面所成的角，再通運算即可求出結論.本小題也可已建立空間坐標系來求.

（3）若四點在同一球面上，求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補齊為一個長方體.外接球的直徑就是長方體的對角線長.即可求結論.

試題解析：（1）證明：由已知

,

又因為，

(2)解法一：連AC交BD于點O，連PO，由(1)知

則，為與平面所成的角.

,則

法二：空間直角坐標法，略.

(3)解：以正方形為底面，為高補成長方體，此時對角線的長為球的直徑，

,.

考點：1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補思想.