Question

【題目】已知圓.

(1)過原點的直線被圓所截得的弦長為2，求直線的方程；

(2)過外的一點向圓引切線，為切點，為坐標原點，若，求使最短時的點坐標.

Answer 1

【答案】(1) 或;(2)

【解析】

(1)利用垂徑定理求出圓心到直線的距離,再分過原點的直線的斜率不存在與存在兩種情況,分別根據點到線的距離公式求解即可.

(2)設,再根據圓的切線長公式以及求出關于關于的關系,再代入的表達式求取得最小值時的即可.

(1) 圓圓心為,半徑為.

當直線的斜率不存在時,圓心到直線的距離,故不存在.

當直線的斜率存在時,設的方程：,即.

則圓心到的距離,由垂徑定理得,

即,即,解得.

故的方程為或

(2) 如圖,設, 因為,故,則,

即,化簡得,即.

此時,

故當,即時最短.

此時