Question

在△ABC中，中線長(zhǎng)AM＝2.

（1）若＝－2，求證：＋＋＝0；
（2）若P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·(＋)的最小值．

Answer 1

（1）見解析；（2）最小值－2.

解析試題分析：（1） ∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＝ (＋)．代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0
（2）若P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，我們易將·(＋),轉(zhuǎn)化為－2||||=2(x－1)²－2的形式，然后根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，得到答案．
試題解析：（1）證明：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴＝ (＋)              ..3分
代入＝－2，得＝－－，          .2分
即＋＋＝0               1分
（2）設(shè)||＝x，則||＝2－x(0≤x≤2)            .1分
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＋＝2         2分
∴·(＋)＝2·＝－2||||
＝－2x(2－x)＝2(x²－2x)＝2(x－1)²－2，              2分
當(dāng)x＝1時(shí)，取最小值－2                ..1分
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.