Question

【題目】如圖，已知平行四邊形和矩形所在平面垂直，其中為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求證:；

（2）若點(diǎn)到平面的距離是，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先連接，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到.根據(jù)可得到，再根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面，即證.

（2）首先取中點(diǎn)，連接，根據(jù)平面得到點(diǎn)到平面的距離就是，取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明為三棱柱的高，再求其體積即可.

（1）連接，因?yàn)?/span>為正三角形，為棱的中點(diǎn)，

所以，因?yàn)?/span>，從而，

又平面平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.①

設(shè)，所以，

又，所以，

所以.

又，所以.

則，②

由①②及，可得平面.

所以.

（2）取中點(diǎn)，連接，則，

則平面，

因?yàn)?/span>平面，

故點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離.

故，因，得，則，

取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為正三角形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面，.

所以平面，

所以為三棱柱的高，

由已知可得，，

所以三棱柱的體積.