Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，

且，，分別為，的中點．

（I）求證：平面；

（II）求證：平面平面；

（III）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析（II）詳見解析（III）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線得出OM∥VB，利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC；（Ⅱ）證明OC⊥平面VAB，即可證明平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）利用等體積法求三棱錐A-MOC的體積即可

試題解析：（Ⅰ）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點，

∴OM∥VB，

∵VB平面MOC，OM平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（Ⅱ）證明：∵AC=BC，O為AB的中點，

∴OC⊥AB，

又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB

（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，

所以.

所以等邊三角形的面積.

又因為平面，

所以三棱錐的體積等于.

又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，

所以三棱錐的體積為.