Question

【題目】在三棱錐中，平面，，，，是的中點，是線段上的一點，且.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知易得是的中點，由平行平面內直線，證得平面；

（2）設點到平面的距離為，利用，求得。

（1）證明：因為，，，

所以.

因為，所以是的斜邊上的中線，

所以是的中點.

又因為是的中點，所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（2）解法一：由（1）得，

.

.

因為，所以.

因為平面，所以.

又，，所以平面.

因為平面，所以.由（1）知，所以.

在中，，

所以.

設點到平面的距離為，

則由，得，即.

解得.即點到平面的距離為.

解法二：因為是的中點，

所以點到平面的距離等于點到平面的距離.

因為平面，所以.

又，，所以平面.

由（1）知，所以平面.又平面，

所以平面平面.

過作，垂足為，則平面，

所以的長即為點到平面的距離.

在中，由得.

所以點到平面的距離為.