Question

【題目】已知函數f（x）＝ax2﹣bx+lnx，（a，b∈R）．

（1）若a＝1，b＝3，求函數f（x）的單調增區間；

（2）若b＝0時，不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）當a＝1，b＞時，記函數f（x）的導函數f（x）的兩個零點是x1和x2（x1＜x2），求證：f（x1）﹣f（x2）＞﹣3ln2．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（0，），（1，+∞）遞增；（2）a≤﹣；（3）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）問題轉化為a≤﹣在區間[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣，根據函數的單調性求出a的范圍即可；

（3）由題意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2﹣bx+1＝0的兩個根，記g（x）＝2x2﹣bx+1，根據函數的單調性證明即可．

（1）由題意得：x＞0，a＝1，b＝3時，f（x）＝x2﹣3x+lnx，

，令f（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1，

故f（x）在（0，），（1，+∞）遞增；

（2）b＝0時，f（x）＝ax2+lnx，不等式f（x）≤0在[1，+∞）恒成立，

即a≤﹣在區間[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣，則，

令h（x）＞0，解得：x＞，令h（x）＜0，解得：1＜x＜，

故f（x）在（1，）遞減，在（，+∞）遞增，故h（x）min＝h（）＝﹣，

故a≤﹣；

（3）a＝1時，f（x）＝x2﹣bx+lnx，，（x＞0），

由題意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2﹣bx+1＝0的兩個根，記g（x）＝2x2﹣bx+1，則

，g（2）＝9﹣2b＜0，

∴x1∈（，），x2∈（2，+∞），且f（x）在[x1，x2]遞減，

故f（x1）﹣f（x2）＞f（）﹣f（2）＝﹣3ln2，

∵b＞，∴f（x1）﹣f（x2）＞﹣3ln2．