Question

（2011•通州區一模）已知數列{a_n}：1，1+

1

2

，1+

1

3

+

2

3

，1+

1

4

+

2

4

+

3

4

，…，1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

，…．
（I）求數列{a_n}的通項公式a_n，并證明數列{a_n}是等差數列；
（II）設bn=

n

(an+1-an)n

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）依題意，可求得a_n+1-a_n為定值，利用定義判斷即可；
（II）由（Ⅰ），結合題意可求得b_n=n•2ⁿ，利用錯位相減法即可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（I）∵a_n=1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

=1+

( 1 n + n-1 n )(n-1)

2

=

n+1

2

，
∴a_n+1-a_n=

(n+1)+1

2

-

n+1

2

=

1

2

，又a₁=1，
∴數列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數列；
（II）∵b_n=

n

(an+1-an)n

=

n

( 1 2 )n

=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，①
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查等差關系的確定，考查數列的求和，突出考查錯位相減法在解決由等差數列與等比數列的對應項之積構成的數列求和中的作用，屬于中檔題．