Question

【題目】已知橢圓： 的一個焦點為，點在橢圓上．

（Ⅰ）求橢圓的方程與離心率；

（Ⅱ）設橢圓上不與點重合的兩點， 關于原點對稱，直線， 分別交軸于， 兩點．求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長是定值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據點在橢圓上和焦點坐標可得到方程；（2）先設， 根據題意得到， ，設以為直徑的圓與軸交于點和,

所以，即，再由，即，故.

解析：

（Ⅰ）依題意， .

點在橢圓上．所以．

所以．

所以橢圓的方程為．

離心率．

（Ⅱ）因為， 兩點關于原點對稱，

所以可設， ，

所以．

直線： ．

當時， ，所以．

直線： ．

當時， ，所以．

設以為直徑的圓與軸交于點和,（），

所以， ， ，

所以．

因為點在以為直徑的圓上，

所以，即．

因為，即，

所以，所以．

所以， ．所以．

所以以為直徑的圓被軸截得的弦長是定值．