Question

【題目】(2015·四川）已知函數f(x）=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.
（1）設g(x)是f(x）的導函數，評論g(x)的單調性；
（2）證明：存在a(0,1)，使得f(x）≥0,在區間（1，+）內恒成立，且f(x）=0在（1，+）內有唯一解.

Answer 1

【答案】
（1）

當0<a<時，g(x)在區間(0, ), (,+)上單調遞增， 在區間(, )上單調遞減；當a≥時，在區間（0，+）上單調遞增.

（2）

詳見解析.

【解析】(1)由已知， 函數f(x)的定義域為（0，+）， g(x)=f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+), 所以 g'(x)=2-+=, 當0<a<時，g(x)在區間(0, ), (,+)上單調遞增， 在區間(, )上單調遞減；當a≥時，在區間（0，+）上單調遞增. (2)由f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+)=0, 解得a=, 令（x)=-2(x+)lnx+x2-2()x-2()2+, 則（1)=1>0, （e)=--2<0, 故存在x0(1,e)， 使得（x0)=0， 令a0=, u(x)=x-1-lnx(x≥1), 由u'(x)=1-≥0知， 函數u(x)在區間（1， +）上單調遞增。所以0=, 即a(0,1), 當a=a0時， 有f'(x0)=0, f(x0)= （x0)=0, 由（1）知， 函數f'(x)在區間（1，+）上單調遞增.， 故當x(1,x0)時， 有f'(x0)<0, 從而f(x)> f(x0)=0, 當x(x0, +)時， 有f'(x0)>0, 從而f(x)> f(x0)=0, 所以， 當x（1，+）時， f(x)≥0。 綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x）≥0,在區間（1，+）內恒成立，且f(x）=0在（1，+）內有唯一解.
本題考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創新意識，考查函數與方程、數形結合、分類與整合，化歸與轉化等數學思想.本題作為壓軸題，難度系數應在0.3以下.導數與微積分作為大學重要內容，在中學要求學生掌握其基礎知識，在高考題中也必有體現.一般地，只要掌握了課本知識，是完全可以解決第（1）題的，所以對難度最大的最后一個題，任何人都不能完全放棄，這里還有不少的分是志在必得的.解決函數題需要的一個重要數學思想是數形結合，聯系圖形大膽猜想. 在本題中，結合待證結論，可以想象出
f(x）的大致圖象，要使得f(x）≥0在區間（1，+）內恒成立，且f(x）=0在（1，+）內有唯一解，則這個解x0應為極小值點，且極小值為0，當x(1,x0)時，f(x）的圖象遞減； 當x（1，+）時，f(x）的圖象單調遞增，順著這個思想，便可找到解決方法.