Question

定義：兩個連續函數f（x），g（x）在閉區間[a，b]上都有意義，我們稱函數|f（x）-g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數f（x）與g（x）在[a，b]上的絕對值差．
（1）求兩連續函數f（x）=2x³+x-5與g（x）=x³-2x²+5x-10在閉區間[-3，2]上的絕對差；
（2）若兩連續函數f（x）=ln（x²+1）+2k與g（x）=x+k在閉區間[-1，1]上絕對差為2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據定義，構造新函數F（x）=f（x）-g（x）=x³+2x²-4x+5利用導數求出函數的單調區間，判斷出函數在閉區間[-3，2]上的最大值與最小值，取其絕對值較大者即為要求的絕對值差．
（2）本題已知絕對值差是2，故要利用導數求出F（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）+2k-x-k=ln（x²+1）-x+k的最大值與最小值，由于不知那一個的絕對值最大，故可以討論在那個端點處取到絕對值差，建立方程，求出參數的值即可．

解答：解：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=2x³+x-5-（x³-2x²+5x-10）=x³+2x²-4x+5
F'（x）=3x²+4x+4=（3x-2）（x+2）
令F'（x）=0得x=-2，或x=

2

3

令F'（x）＞0得x＞

2

3

或x＜-2，
令F'（x）＜0得-2＜x＜

2

3

故F（x）在（-3，-2）上增，在（-2，

2

3

）上減，在（

2

3

，2）增
又F（-3）=8，F（-2）=13，F（

2

3

）=

95

27

，F（2）=13
∴絕對差等于13
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）+2k-x-k=ln（x²+1）-x+k
∴F'（x）=

2x

x2+1

-1=

-(x-1)2

x2+1

≤0
F（x）閉區間[-1，1]上是減函數，故F（1）≤F（x）≤F（-1）
故ln2+1+k=2或ln2-1+k=-2
解得k=1-ln2，或k=-1-ln2

點評：本題考點是利用導數研究函數的極值，本題出題方式新穎，組合思路巧妙，考查了對新定義的理解能力與利用導數求最值的能力．