Question

定義：兩個(gè)連續(xù)函數(shù)（圖象不間斷）f（x），g（x）在區(qū)間[a，b]上都有意義，我們稱函數(shù)|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a，b]上的“絕對(duì)和”．
（1）試求函數(shù)f（x）=x²與g（x）=x（x+2）（x-4）在閉區(qū)間[-2，2]上的“絕對(duì)和”．
（2）設(shè)h_m（x）=-4x+m及f（x）=x²都是定義在閉區(qū)間[1，3]上，記h_m（x）與f（x）的“絕對(duì)和”為D_m，如果D（m）的最小值是D（m₀），則稱f（x）可用hm0(x)“替代”，試求m₀的值，使f（x）可用hm0(x)“替代”．

Answer 1

分析：（1）令F（x）=f（x）+g（x），先討論滿足F′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值，再將F（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值，即可求出所求；
（2）設(shè)?（x）=h_m（x）+f（x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知在閉區(qū)間[1，3]上，D（m）是|m-3|與|m-4|中較大者，然后求出D（m）的最小值時(shí)m的值即可．

解答：解：（1）令F（x）=f（x）+g（x）=x²+x（x+2）（x-4）=x³-x²-8x，
則F'（x）=3x²-2x-8=（3x+4）（x-2）．F（x），F(xiàn)'（x）隨x的值的變化情況如下表

由表可知F（x）的值域?yàn)?span id="ykiui2a" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-12，

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].
故|f（x）+f（x）|在[-2，2]上的最大值為12．
從而f（x）與g（x）在[-2，2]上的“絕對(duì)和”為12．
（2）設(shè)?（x）=h_m（x）+f（x）=-4x+m+x²=（x-2）²+m-4．
而?（1）=?（3）=m-3?∴D（m）是|m-3|與|m-4|中較大者．
∴D(m)=

|m-4|?(m＜ 7 2 ) |m-3|?(m≥ 7 2 )

∴當(dāng)m=

7

2

時(shí)，D（m）最小，∴m0=

7

2

．
即m0=

7

2

時(shí)，f（x）可用hm0(x)“替代”

點(diǎn)評(píng)：本題立意比較新穎，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，屬于中檔題．