Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求函數的定義域，求導通分后發現分母是含有參數的二次函數，根據其判別式進行分類討論，由此求得函數的單調區間.（2）將和代入原函數，可將原不等式化簡為恒成立，利用分離常數法，可將問題轉化為切線的斜率來求解.

試題解析：（1），

令，判別式為：，

①：當，得，

此時，從而，

所以在上單調遞增.

②：當，即，

令，得方程的根

（舍去），，

若，此時，，得，

由，得，

∴在上單調遞增，在單調遞減，

若，此時的對稱軸為，

，

∴，從而在上單調遞增.

綜上：當，在上單調遞增；當，在上單調遞增，單調遞減.

（2）由題意有恒成立，

即，

即恒成立，

當時，不等式顯然恒成立，

當時，，

所以，則，于是

，在上恒成立，

令，

設，，

則，且兩點在的圖象上，

又，

故，

所以，

故為所求.