Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右準線l₂與一條漸近線l交于點P，F是雙曲線的右焦點．
（Ⅰ）求證：PF⊥l；
（Ⅱ）若|PF|=

2

，且雙曲線的離心率e=

3

，求該雙曲線的方程；
（Ⅲ）若過點A（2，1）的直線與（Ⅱ）中的雙曲線交于兩點P₁，P₂，求線段P₁P₂的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線方程求出雙曲線的右準線方程和一條漸近線方程，聯立求出P點的坐標，求出PF所在直線的斜率，由斜率制劑等于-1證明PF⊥l；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的證明可知，|PF|為F（c，0）到l：bx-ay=0距離，由點到直線的距離公式列一個關于a，b，c的關系式，再由離心率得一關系式，結合a²+b²=c²求解a，b的值，則雙曲線的方程可求；
（Ⅲ）分斜率存在和不存在得到過點A的直線方程，斜率存在時把直線方程和雙曲線方程聯立，利用根與系數關系得到M點的參數方程，消參后即可得到答案，然后驗證斜率不存在時的情況．

解答：（Ⅰ）證明：右準線為x=

a2

c

，由對稱性，不妨設漸近線l為y=

b

a

x，則P(

a2

c

，

ab

c

)．
又F（c，0），∴kPF=

ab c -0

a2 c -c

=-

a

b

．
又∵kl=

b

a

，∴kPF•kl=-

a

b

•

b

a

=-1，∴PF⊥l；
（Ⅱ）解：∵|PF|為F（c，0）到l：bx-ay=0距離，∴

|bc|

a2+b2

=

2

，即b=

2

．
又e=

c

a

=

3

，∴

a2+b2

a2

=3，解得a²=1．
故雙曲線方程為x2-

y2

2

=1；
（Ⅲ）解：設M（x，y），
當過點A的直線斜率存在時，設直線方程為y-1=k（x-2），
由

y-1=k(x-2) x2- y2 2 =1

，
可得（2-k²）x²-2k（1-2k）x-（1-2k）²-2=0．
當（2-k²）≠0，△=（1-2k）²4k²+4（2-k²）[（1-2k）²+2]＞0時，
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），∴x=

x1+x2

2

=

k(1-2k)

2-k2

（1）y=

y1+y2

2

=

k(x1+x2)-4k+2

2

=

2(1-2k)

2-k2

（2）
當k=

1

2

時，此時M（0，0）．
當k≠

1

2

時，顯然y≠0．此時（1）÷（2）得k=

2x

y

，將其代入（2），
得

y

2

=

y(y-4x)

2y2-4x2

．∵y≠0，∴有2x²-y²-4x+y=0．顯然（0，0）也滿足此方程．
當直線的斜率不存在時，此時直線方程為x=2，則P₁P₂中點為（2，0）符合上式．
綜上可知，M點的軌跡方程為2x²-y²-4x+y=0．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了雙曲線的性質，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系解題是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理，是難題．