Question

如圖所示，在棱長為2的正方體中，E、F分別為DD₁、BD的中點．  
（1）求證：EF∥面ABC₁D₁
（2）求證EF∥BD₁．
（3）求三棱錐VB1-EFC的體積．

Answer 1

分析：（1）E、F分別為DD₁、BD的中點，所以EF∥BD₁且EF=

1

2

BD₁．又因為BD₁?平面ABC₁D₁且EF?平面ABC₁D₁所以EF∥面ABC₁D₁
（2）E、F分別為DD₁、BD的中點∴EF∥BD₁
（3）B₁C⊥EF且EF⊥FC所以EF⊥平面FCB₁，所以EF=

3

，因為FC=

2

，FB₁=

6

所以VB1-EFC=

1

3

×

1

2

×

2

×

6

×

3

=1．

解答：證明：（1）∵E、F分別為DD₁、BD的中點
∴EF∥BD₁且EF=

1

2

BD₁
∵BD₁?平面ABC₁D₁且EF?平面ABC₁D₁
∴EF∥面ABC₁D₁
（2））∵E、F分別為DD₁、BD的中點
∴EF∥BD₁
（3）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∴B₁C⊥BC₁，B₁C⊥C₁D₁
∴B₁C⊥平面BC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁
∴B₁C⊥EF
又∵EF⊥FC
∴EF⊥平面FCB₁
∵EF=

1

2

BD₁
∴EF=

3

∵FC⊥平面BDD₁B₁
∴FC⊥FB₁
又∵在棱長為2的正方體中
∴FC=

2

，FB1=

6

∴S△FCB1=

3

∴VB1-EFC=

1

3

×

1

2

×

2

×

6

×

3

=1
所以三棱錐VB1-EFC的體積為1．．

點評：證明線面平行即在平面內找一條直線與已知直線平行；證明線線平行的方法有證明線面平行，中位線，平行四邊形等方法，在這里運用了中位線也是我們常見的一種方法；求三棱錐的體積關鍵是找到合適的高與底面，即換一個頂點．