Question

已知x∈[-2，2]、f（x）=2^x分別是雙曲線f（x）的左、右焦點，f（x）=2為雙曲線上的一點，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數列，則雙曲線的離心率是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：本題考查的是雙曲線的簡單性質，要求出雙曲線的離心率，關鍵是要根據已知構造一個關于離心率e，或是關于實半軸長2a與焦距2C的方程，解方程即可求出離心率，注意到已知條件中，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數列，結合雙曲線的定義，我們不難得到想要的方程，進而求出離心率．

解答： 解：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
不妨設P在第一象限，
則由已知得

m-n=2a n+2c=2m m2+n2=4c2

，
∴5a²-6ac+c²=0，
方程兩邊同除a²得：即e²-6e+5=0，
解得e=5或e=1（舍去），
故選：D．

點評：解題過程中，為了解答過程的簡便，我們把未知|PF₁|設為m，|PF₂|設為n，這時要求離心率e，我們要找出a，c之間的關系，則至少需要三個方程，由已知中，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數列，我們不難得到兩個方程，此時一定要注意雙曲線的定義，即P點到兩個焦點的距離之差為定值．