Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交AB的延長線于點C，過點C作AC的垂線，交AD的延長線于點E．

（1）求證：△CDE為等腰三角形；
（2）若AD=2， = ，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接線段DB，

因為DC為⊙O的切線，

所以∠DAB=∠BDC，

又因為AB為⊙O的直徑，BD⊥AE，

所以∠CDE+∠CDB=∠DAB+∠AEC=90°，

所以∠CDE=∠AEC，

從而△CDE為等腰三角形．

（2）解：由（1）知CD=CE，

因為DC為⊙O的切線，

所以CD2=CBCA，

所以CE2=CBCA，即 = = ．

又Rt△ABD∽Rt△AEC，故 = = ．

因為AD=2，所以BD=1，AB= ，S=π = ，

所以⊙O的面積為 ．

【解析】（1）連接線段DB，利用垂直關系證明∠CDE=∠AEC，即可得出△CDE為等腰三角形；（2）利用相似三角形求出圓O的直徑，即可求出圓的面積．