Question

（2009•金山區一模）已知函數f（x）=log₄（4^x+1），g（x）=（k-1）x，記F（x）=f（x）-g（x），且F（x）為偶函數．
（1）求實常數k的值；
（2）求證：當m≤1時，函數y=f（2x）與函數y=g（2x+m）的圖象最多只有一個交點．

Answer 1

分析：（1）由F（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x為偶函數，所以F（-x）=F（x） 代入整理可求K
（2）由 f（2x）=g（2x+m），可得log₄（4^2x+1）=

1

2

（2x+m）即4^2x-4^x2^m+1=0，結合m的范圍判斷該方程的根的個數
可求

解答：解：（1）F（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x，
因為F（x）為偶函數，所以F（-x）=F（x） …（1分）
log₄（4^x+1）-（k-1）x=log₄（4^-x+1）+（k-1）x…（3分）
所以（2k-2）x=x，…（4分）
因為x∈R，所以k=

3

2

…（6分）
（2）因為 f（2x）=g（2x+m），
所以log₄（4^2x+1）=

1

2

（2x+m），…（7分）
即4^2x-4^x2^m+1=0…（8分）
又m≤1，所以△=4^m-4≤0，當m=1時，方程有唯一解x=0，當m＜1時，方程無解，所以方程最多只有一解，…（10分）
即兩個函數圖象最多只有一個交點．…（12分）

點評：本題主要考查了偶函數定義f（-x）=f（x）的應用，方程的根的個數與函數的交點個數之間的相互轉化．