Question

【題目】已知點，點是直線上的動點，過作直線， ，線段的垂直平分線與交于點．

(1)求點的軌跡的方程；

(2)若點是直線上兩個不同的點，且的內切圓方程為，直線的斜率為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用拋物線定義求解即可；

（2）設出的三個頂點的坐標，表示出的解析式，化簡之后可得為關于的方程的兩根，然后由韋達定理表示的長度，最后在中消去參數，故可以得到的取值范圍.

試題解析： (1)據題設分析知，點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.

(2)設，點，點，

直線的方程為，

化簡，得，

又因為內切圓的方程為．

所以圓心到直線的距離為1，即，

所以，

由題意，得，所以.

同理，有，

所以是關于的方程的兩根，

所以因為

所以.

因為，

所以.

直線的斜率，則，

所以.

因為函數在上單調遞增，所以當時， ，

所以，所以，

所以.所以的取值范圍是.