Question

【題目】如圖，在空間幾何體A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是邊長為2的等邊三角形，F為AC的中點． （Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AC=4，求證：平面ADE⊥平面BCDE；
（Ⅲ）若AC=4，求幾何體C﹣BDF的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取DA的中點G連結FG，GE，
∵F為AC的中點，∴ ，
又∵DC∥BE，CD=2BE，∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四邊形BFGE為平行四邊形，∴BF∥EG，
∵EG平面ADE，BF平面ADE，
∴BF∥平面ADE
解：（Ⅱ）取DE的中點H，連AH，CH，

∵△ADE為等邊三角形，∴AH⊥DE，且 ，
在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴ ，
∴AC2=AH2+HC2 ， 即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，
∴AH⊥平面BCDE，∵AH平面ADE，
∴平面ADE⊥BCDE…（8分）
（Ⅲ） = =2，
∵F是AC中點，
∴幾何體C﹣BDF的體積
【解析】（Ⅰ）取DA的中點G連結FG，GE，推導出四邊形BFGE為平行四邊形，從而BF∥EG，由此能證明BF∥平面ADE．（Ⅱ）取DE的中點H，連AH，CH，推導出AH⊥DE，AH⊥HC，從而AH⊥平面BCDE，由此能證明平面ADE⊥BCDE．（Ⅲ）幾何體C﹣BDF的體積 ，由此能求出結果．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．