Question

已知數列的前項和和通項滿足（是常數且）。
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ) 當時，試證明；
(Ⅲ)設函數，，是否存在正整數，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）
（2）略
（3）1，2，3

解: (Ⅰ)由題意，，得∴ …………1分
當時， ，
   ∴                     ………………3分
∴數列是首項，公比為的等比數列，∴ ………4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知當時，       …………………5分
∵，∴  …………………………………………………6分
即    …………………………………………………………………………7分
(Ⅲ)∵
＝
=     ……………………9分
∵    ………………………………10分
∴＝ …12分
由得 -------()
∵()對都成立 ∴ ∵是正整數，∴的值為1,2,3。
∴使對都成立的正整數存在，其值為：1，2，3. …14分