Question

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意
[m，n]D，都存在x₀∈（m，n），使得等式f（n）﹣f（m）=（n﹣m）f'（x₀）成立．
試用這一性質證明：方程f（x）﹣x=0只有一個實數根；
（III）設x₁是方程f（x）﹣x=0的實數根，求證：對于f（x）定義域中任意的x₂，x₃，當|x₂﹣x₁|＜1，且|x₃﹣x₁|＜1時，有|f（x₃）﹣f（x₂）|＜2.

Answer 1

解：（I）因為，
又因為當x=0時，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有實數根0．
所以函數是的集合M中的元素．
（II）假設方程f（x）﹣x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），
則f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0
不妨設α＜β，
根據題意存在數c（α，β）使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立．
因為f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，與已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一個實數根；
（III）不妨設x₂＜x₃，
因為f'（x）＞0，所以f（x）為增函數，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因為f'（x）﹣1＜0，所以函數f（x）﹣x為減函數，
所以f（x₂）﹣x₂＞f（x₃）﹣x₃，
所以0＜f（x₃）﹣f（x₂）＜x₃﹣x₂，即|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|，
所以|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|=|x₃﹣x₁﹣（x₂﹣x₁）|≤|x₃﹣x₁|+|x₂﹣x₁|＜2