Question

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判斷函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判斷g（x）的單調性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）設x₁＜x₂，證明：0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁．

Answer 1

分析：（I）由求導公式算出f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，結合余弦函數的值域得到f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]，可得f（x）滿足條件②，再由方程f （x）-x=0有實數根x=0，可得f（x）滿足條件①，由此可得函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是集合M中的元素．
（II）算出g'（x）=f'（x）-1，根據題意得g'（x）＜0，由此可得g（x）為單調減函數；
（III）運用導數研究函數的單調性，可得f（x）為增函數且g（x）=f（x）-x為減函數，由此將x₁＜x₂代入得到f（x₁）＜f（x₂）且g（x₁）＞g（x₂），再進行化簡整理即可證出原不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

2

+

sinx

4

，∴求導數，得f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，
由cosx∈[-1，1]，可得f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]，滿足條件0＜f′（x）＜1，
又∵當x=0時，f （0）=0，∴方程f （x）-x=0有實數根x=0．
因此，函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是集合M中的元素．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-x，∴求導數得：g'（x）=f'（x）-1
∵函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1，
∴g'（x）=f'（x）-1＜0，可得g（x）為單調減函數；
（Ⅲ）∵函數y=f（x）滿足f'（x）＞0，∴f（x）為增函數，
又∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），可得f（x₂）-f（x₁）＞0．
又∵由（II）的結論，得g（x）=f（x）-x為單調減函數，
∴g（x₁）＞g（x₂），可得f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
即f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂＞0，整理得f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，
綜上所述，0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁成立．

點評：本題給出函數的特殊定義，判斷f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否符合該定義，并依此定義證明不等式恒成立．著重考查了利用導數研究函數的單調性、運用函數的單調性證明不等式和不等式的等價變形等知識，屬于中檔題．