【題目】已知函數(shù)
（1）若
為曲線
的一條切線，求a的值；
（2）已知
，若存在唯一的整數(shù)
，使得
，求a的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
試題（1）先求出
，設(shè)出切點
，利用切線方程求得
，進而求得
的值；（2）問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)，使
的最小值小于零，利用導數(shù)求其極值，數(shù)形結(jié)合可得
，且
，即可得的取值范圍．
試題解析：
（1）函數(shù)
的定義域為
，
，
設(shè)切點，則切線的斜率
，
所以切線為
，
因為
恒過點
，斜率為，且為
的一條切線，
所以
，
所以
或
，所以
或
．
（2）令，
，
，
當
時，∵
，
，∴
，
又
，∴
，∴
在
上遞增，
∴ ，又
，
則存在唯一的整數(shù)使得
，即
；
當
時，為滿足題意，在
上不存在整數(shù)使
，
即在
上不存在整數(shù)使，
∵
，∴
．
①當
時，
，
∴在上遞減，
∴當時，，
∴
，∴
；
②當
時，
，不符合題意．
綜上所述，．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐C的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC
（2）求證：平面PCD⊥平面PEC；
（3）求三棱錐C-BEP的體積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如下表：
根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點圖．
(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖：
(i)求
;
(ii)計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫它們的相關(guān)程度．
(2)若y關(guān)于x的線性回歸方程為
，求
的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量。
附：參考數(shù)據(jù)：
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖.
現(xiàn)在上述圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為_________.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
是長軸的一個端點，弦
過橢圓的中心O，點C在第一象限，且
，
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)P、Q為橢圓上不重合的兩點且異于A、B，若
的平分線總是垂直于x軸，問是否存在實數(shù)
，使得
？若不存在，請說明理由；若存在，求的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個說法，其中正確的是（ ）
A.命題“若
，則
”的否命題是“若，則
”
B.“
”是“雙曲線
的離心率大于
”的充要條件
C.命題“
，
”的否定是“，
”
D.命題“在
中，若
，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若無窮數(shù)列
滿足:對任意兩個正整數(shù)
,
與
至少有一個成立,則稱這個數(shù)列為“和諧數(shù)列”.
(Ⅰ)求證:若數(shù)列
為等差數(shù)列,則為“和諧數(shù)列”;
(Ⅱ)求證:若數(shù)列為“和諧數(shù)列”,則數(shù)列從第
項起為等差數(shù)列;
(Ⅲ)若是各項均為整數(shù)的“和諧數(shù)列”,滿足
,且存在
使得
，
,求p的所有可能值.
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