Question

已知，邊AB上一點P₁，這里P₁異于A、B．由P₁引邊OB的垂線P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引邊OA的垂線Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引邊AB的垂線R₁P₂，P₂是垂足．同樣的操作連續進行，得到點 P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．設 ＜t_n＜1），如圖．
（1）求的值；
（2）某同學對上述已知條件的研究發現如下結論：，問該同學這個結論是否正確？并說明理由；
（3）用t₁和n表示t_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求的值，先求其平方．利用三角形OAB中的邊角條件即可求得 ，從而得出；
（2）該同學的結論正確．由（1）與已知，得三角形OAB的三邊長，由余弦定理結合向量條件即可證得．
（3）結合圖形，可得 變形為：得到{tn-}構成一個等比數列，公比為-，利用等比數列的通項公式即可表示出t_n
解答：解：（1）因為-----（1分）
則 ；所以，--------------（4分）
（2）該同學的結論正確．----------------------------（5分）
由（1）與已知，得，
由余弦定理  -----------------（6分）
又∵，則
則，所以，---------（8分）
（3）結合圖形，可得 ---------------------（14分）
則------------------------（16分）
∴{tn-}構成一個等比數列，公比為-，
故--------------（18分）
點評：本小題主要考查向量模、解三角形的應用、數列的通項公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．