Question

已知關于x的不等式ax²-（a+1）x+b＜0
（1）若不等式的解集是{x|1＜x＜5}，求a+b的值；
（2）若a≠0，b=1，求此不等式的解集．

Answer 1

分析：（1）根據不等式的解集和對應方程之間的關系建立方程關系即可求解a，b的值；
（2）根據一元二次不等式的解法解不等式即可．

解答：解：（1）∵不等式的解集是{x|1＜x＜5}，
∴a＞0，且1和5是方程ax²-（a+1）x+b=0的兩根，
∴1+5=-

-(a+1)

a

，且1×5=

b

a

，
解得a=

1

5

，b=1，
∴a+b=

6

5

．
（2）若a≠0，b=1，此不等式為ax²-（a+1）x+1＜0，
∴（ax-1）（x-1）＜0，
∴a(x-

1

a

)(x-1)＜0，
①若a＞1時，

1

a

＜1，此不等式解集為{x|

1

a

＜x＜1}，
②若a=1時，

1

a

=1，此不等式解集為￠，
③若0＜a＜1時，

1

a

＞1，此不等式解集為{x|1＜x＜

1

a

}，
④若a＜0時，

1

a

＜1，此不等式解集為{x|x＜

1

a

，或x＞1}．

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，利用一元二次方程和一元二次不等式之間的關系是解決本題的關鍵對應含有參數的不等式要對參數進行討論．